Giả sử p là một số nguyên tố. Ta có p^2 + 2 là số nguyên tố, nghĩa là không tồn tại số nguyên dương nào khác 1 và chính nó chia hết cho p^2 + 2.

Giả sử p^3 + 2 không phải là số nguyên tố, tức là tồn tại số nguyên dương k khác 1 và chính nó sao cho k | p^3 + 2. Ta có thể viết p^3 + 2 = kq, với q là một số nguyên dương.

Khi đó, ta có p^3 = kq - 2 = (k - 1)q + q - 2. Vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho q. Do đó, p chia hết cho k - 1 hoặc p chia hết cho q - 2.

Nếu p chia hết cho k - 1, ta có p > k - 1, suy ra p^3 > (k - 1)^3 = k^3 - 3k^2 + 3k - 1 > kq - 2 = p^3, mâu thuẫn.

Nếu p chia hết cho q - 2, ta có p > q - 2, suy ra p^3 > (q - 2)^3 = q^3 - 6q^2 + 12q - 8 > kq - 2 = p^3, mâu thuẫn.

Do đó, giả thiết p^3 + 2 không phải là số nguyên tố là sai. Vậy p^3 + 2 là số nguyên tố.