Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi K là giao điểm của các các tia phân giác của tam giác AHB

Để chứng minh góc ABK = MAC và BK vuông góc với AM, ta có:
- Góc ABK = góc ABC (vì K là giao điểm của các tia phân giác của tam giác ABC)
- Góc MAC = góc BAC (vì A là giao điểm của các tia phân giác của tam giác ABC)
- Ta có góc ABC = góc BAC (vì tam giác ABC vuông tại A)
=> Góc ABK = góc MAC

Ta có: góc BAK = góc CAK (vì K là giao điểm của các tia phân giác của tam giác ABC)
=> góc BAK + góc CAK = 180 độ
=> góc BAC = góc BAK + góc CAK = 90 độ
=> BK vuông góc với AM

Để chứng minh I là trực tâm của tam giác AI vuông góc với KM, ta có:
- Góc BIK = góc CIK (vì I là giao điểm của BK và CM)
- Góc BIK + góc CIK = 180 độ
=> góc BIC = 180 độ
=> I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi L là trực tâm của tam giác AI, ta có:
- Góc KIL = góc KCL (vì I là trực tâm của tam giác AI)
- Góc KCL = góc KCB (vì CL là đường cao của tam giác ABC)
- Góc KCB = góc KAB (vì tam giác ABC vuông tại A)
=> Góc KIL = góc KAB
=> Góc KIL = 90 độ
=> I là trực tâm của tam giác AI vuông góc với KM

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.