Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) trên AC. Lấy M sao cho AM = AB kẻ đường phân giác AI của tam giác ABC

a) Ta có AM = AB nên tam giác ABI đều và góc ABI = góc AIB = 60°.
Góc AMI = góc ABI = 60°.
Vậy tam giác ABI = tam giác AMI.
Góc MIC = góc MIB + góc CIB = góc ABI + góc CIB = 60° + 60° = 120°.
Góc MBC = góc ABC = 90° - góc ACB = 90° - 30° = 60°.
Vậy MIC = 2 MBC.

b) Ta có góc ABC > 90° nên góc ACB < 90°.
Theo định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB*AC*cos(ACB)
= AB^2 + AC^2 - 2AB*AC*cos(30°)
= AB^2 + AC^2 - AB*AC*sqrt(3)
= AB^2(1 + (AC/AB)^2 - sqrt(3))
Vì ABC > 90° nên AC > AB, nên (AC/AB)^2 > 1.
Vậy BC^2 > AB^2(1 + 1 - sqrt(3)) = 2AB^2(1 - sqrt(3)) > 2AB^2.
Vậy BC/AB > sqrt(2) > 2.

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với IM và AI.
Ta có góc HMI = 90° - góc IMB = 90° - góc AMB = 90° - 30° = 60°.
Góc HBI = 90° - góc ABI = 90° - 60° = 30°.
Vậy tam giác HBI = tam giác MBI.
Vậy góc HBC = góc MBC = 60°.
Vậy HM vuông góc với BC.