Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2, sao cho

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), ta cần giải phương trình đó bằng cách sử dụng công thức \(\Delta = b^2 - 4ac\), với \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = m\).

Ta có:

\[\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 1 - 4m\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần \(\Delta > 0\), tức là:

\[1 - 4m > 0\]

\[4m < 1\]

\[m < \frac{1}{4}\]

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, ta cần \(m < \frac{1}{4}\).

Tiếp theo, ta cần tìm \(m\) sao cho \(x_1 + x_2 = 2x_1x_2 = m^2\).

Ta biết rằng \(x_1 + x_2 = 1\) và \(x_1x_2 = m\).

Dễ dàng thấy rằng:

\[(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\]

\[1 = 1 + 2m + m^2\]

\[m^2 + 2m - 1 = 0\]

Giải phương trình trên ta được:

\[m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}\]

\[m = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}\]

\[m = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2}\]

\[m = -1 \pm \sqrt{2}\]

Vậy \(m = -1 + \sqrt{2}\) hoặc \(m = -1 - \sqrt{2}\).