Cho tam giác DEF vuông cân tại D. Gọi G là trung điểm của EF. Chứng minh EDG = DFG. Lấy điểm H thuộc đoạn thẳng EG (H khác E và G). Kẻ các đường thẳng EI, FK lần lượt vuông góc với đường thẳng DH tại I và K. Chứng minh EI = DK và tam giác GIK vuông cân

1.
a) Ta có:
- Tam giác DEF vuông cân tại D nên DE = DF.
- G là trung điểm của EF nên EG = GF.
- Ta có GD = GD (cạnh chung).
Vậy tam giác EDG và DFG đồng dạng (cạnh kề bằng nhau và góc đối bằng nhau) nên EDG = DFG.

b) Ta có:
- DH vuông góc với EI nên tam giác EDH và EIH đồng dạng (2 góc vuông và góc giữa bằng nhau).
- DH vuông góc với FK nên tam giác DHF và FKH đồng dạng (2 góc vuông và góc giữa bằng nhau).
- Ta có EI = 2HG (do trung điểm G).
- Ta có FK = 2HG (do trung điểm G).
Vậy EI = FK.
- Ta có GI = GI (cạnh chung).
Vậy tam giác GIK vuông cân.

2.
Ta có:
- MN = MQ và MN = MR nên tam giác MNQ và MNR đều vuông cân tại M.
- I là trung điểm của NP nên MI là đường cao của tam giác MNP.
- Ta có QR = 2MN (do đường cao của tam giác vuông cân chia đôi đáy).
Vậy MI = 1/2 QR.