Cho đường tròn tâm O và dây BC cố định khác đường kính gọi a' là điểm di động trên cung lớn BC a khác b a khác c a các điểm chính giữa của cung BC các đường cao AD be CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. Chứng minh OA vuông góc EF

a. Ta có:
$$\angle BFC = \angle BEC = 90^\circ$$
Do đó, tứ giác $BFEC$ là tứ giác nội tiếp.

b. Ta có:
$$\angle OEF = \angle OEB + \angle BEF = 90^\circ + \angle BCF = 90^\circ + \angle BCA' = 90^\circ + \angle BHA' = 90^\circ + \angle HFA' = 90^\circ + \angle HFE = 90^\circ$$
Vậy $OA \perp EF$.

c. Ta có:
$$\angle EDH = \angle EDF + \angle HDF = \angle EDF + \angle HFA' = \angle EDF + \angle HFE = \angle EDF + \angle BEF = \angle EBF = \angle EBC = \angle EAC = \angle EAD$$
Vậy $DH$ là phân giác của góc $EDF$.

d. Gọi $M$ là giao điểm của $(DFE)$ và $(O)$. Ta có:
$$\angle FMO = \angle FDO = \angle EDF = \angle EHF = \angle EHM$$
Do đó, $M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $DHE$. Điều cần chứng minh.