Cho (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax của (O) lấy điểm M. Vẽ cát tuyến MCD tới (O). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại I

Vì CM:MC = MD:MA = 1:2 (do M là trung điểm của CD), ta có CM = 1/3 CD và MD = 2/3 CD.

Gọi OD = r (bán kính của đường tròn).

Ta có: CD = 3r, CM = r, MD = 2r.

Theo định lý Pythagore trong tam giác ODI vuông tại I, ta có:

OD² + ID² = OI²

(r + 2r)² + ID² = (r + r)²

9r² + ID² = 4r²

ID² = 5r²

ID = r√5

Vậy ta có: OI = r√5.

Do đó, theo định lý Pythagore trong tam giác OIM vuông tại I, ta có:

OM² = OI² + IM²

AM² = 5r² + r²

AM² = 6r²

Vậy ta có: CM:MC = MD:MA = AM².