a) Ta có I là trung điểm của BC nên AI là đường cao của tam giác ABC, suy ra N là trung điểm của AC.
Ta có IN song song với AD (do N là trung điểm của ID), nên góc AIN = góc ADC (cùng là góc vuông).
Vậy tứ giác ADCI là hình thoi.

b) Gọi M là trung điểm của DC, ta có IM song song với AB (do I là trung điểm của BC).
Áp dụng định lí Thales trong tam giác BNC ta có:
\(\frac{DK}{KC} = \frac{DN}{NC} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{DK}{DC} = \frac{1}{3}\) (vì KC = 2DK).