Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học và tính chất của các hình học.

1) Ta có:
- Góc MAN = góc BAC (do cùng chắn cung AM trên đường tròn (O))
- Góc AMN = góc ABC (do cùng chắn cung AN trên đường tròn (O))
Vậy tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC theo định lí góc đồng dạng.

2) Ta có:
- Góc MBC = góc MAC (do cùng chắn cung MC trên đường tròn (O))
- Góc NBC = góc NAC (do cùng chắn cung NB trên đường tròn (O))
Vậy tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp do có hai cặp góc đối nhau bằng nhau.

3) Gọi I là giao điểm của phân giác của góc BAC với dây BC. Ta có:
- Góc SBI = góc SBC (do AB // SN)
- Góc SCI = góc SCB (do AC // SM)
Vậy tứ giác SBIC là tứ giác cân do SB = SC.
Do đó, ta có: SD^2 = SB.SC theo tính chất của tứ giác cân.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.