Cho ΔABC cân tại A, 2 đường cao AI và BH cắt nhau tại H. Gọi E là giao điểm của CH và AB, T là giao điểm của DE và AH

Để chứng minh EH là phân giác trong của △ETI, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. EH là phân giác của △ETI: Ta có △AIC ∼ △BDC (do cùng có góc vuông tại I và chung góc ACI = BDC), từ đó ta có: AI/BI = AC/BC = CI/DC.
Khi đó, ta có △AIE ∼ △BHE (do cùng có góc vuông tại I và cùng tỉ số đồng dạng), từ đó ta có AE/BE = AI/BI = CI/DC = CH/EH.
Do đó, ta có EH là phân giác của △ETI.

2. EA là phân giác ngoài của △ETI: Ta cần chứng minh tứ giác AEIT nội tiếp.
Ta có AE/BE = AI/BI = CI/DC = CH/EH, từ đó ta có △AIE ∼ △BHE, suy ra ∠AIE = ∠BHE.
Khi đó, ta có ∠AET = ∠AIH = 90° - ∠AHI = 90° - ∠BHE = ∠BET, suy ra tứ giác AEIT nội tiếp.
Do đó, EA là phân giác ngoài của △ETI.

Về điều cần chứng minh thứ hai: BE.BA + CH.CE = BC^2, ta có thể sử dụng định lí Ptolemy trong tứ giác ABEC để chứng minh.

Như vậy, ta đã chứng minh được EH là phân giác trong và EA là phân giác ngoài của △ETI tại đỉnh E.