Để chứng minh ak*ah=r^2, ta sẽ sử dụng định lí về đồng quy.

Gọi I là trung điểm của MN, ta có CI song song với MN và CI vuông góc với OA (do CI là đường trung tuyến của tam giác OAM).

Khi đó, ta có tam giác OAC đồng quy với tam giác MCI (do OA vuông góc với AC, CI vuông góc với OA và CI song song với MN).

Vậy ta có:
∠OAC = ∠MCI (cùng nội tiếp trong đường tròn)
∠OCA = ∠MIC (do CI song song với MN)
∠OAC = ∠OCA (vì OA = OC)
⇒ tam giác OAC đồng dạng với tam giác MCI

Từ đồng dạng của hai tam giác trên, ta có:
AC/CI = OA/MI
⇒ AC = 2CI và OA = 2MI
⇒ CI = 1/2AC và MI = 1/2OA

Vì K là trung điểm của MB nên ta có MK = KB = 1/2MB
⇒ MI = 1/2OA = 1/2MB
⇒ OA = MB

Do đó, tam giác OAK đồng dạng với tam giác MBA
⇒ ∠OAK = ∠MAB và ∠OAK = ∠MBA
⇒ ∠MAB = ∠MBA

Vậy ta có:
∠MAB = ∠MBA
⇒ ∠MAH = ∠MHA
⇒ tam giác MAH cân tại M

Vậy ta có:
AH = AM = r (do AM là bán kính đường tròn)
⇒ AK*AH = r^2

Vậy ta đã chứng minh được ak*ah=r^2.