a) Vì tam giác \(BMC\) cân (với \(BM = CM\)) và \(MN\) là đoạn trung bình của \(BC\), nên ta có \(BM = MN = MC\). Do đó, tam giác \(MNC\) cũng là tam giác cân.

b) Vì \(AD\) là đường phân giác trong tam giác \(ABC\), nên theo định lí phân giác, ta có:

\[\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} = 1\]

Vì vậy, \(BE = EC\). Điều này ngụ ý rằng \(E\) là trung điểm của \(AC\).

Ta cũng biết rằng \(AD\) vuông góc với \(EF\) tại \(F\) (do \(AD\) là tia phân giác, \(EF\) là đường cao của tam giác \(AEC\)).

c) Gọi \(K'\) là hình chiếu vuông góc của \(K\) lên \(AD\). Khi đó, ta có \(KN > K'N\) do \(K\) nằm trên tia đối của \(CA\).

Gọi \(N'\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) lên \(AD\). Ta có \(BN < B'N\) do \(N\) nằm trên tia đối của \(DA\).

Vậy để chứng minh \(KN > BN\), ta chỉ cần chứng minh \(K'N > B'N\).

Vì \(AD\) là tia phân giác, nên \(K'N = DN\), và vì \(AC\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(B'N = DN\). 

Do đó, \(K'N > B'N\), từ đó suy ra \(KN > BN\).