a) Ta có:
- Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, góc MAB = góc MBA = 90 độ.
- Vì N là trung điểm của MA, nên NA = NM.
- Vì BN là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BNC = góc NBC = 90 độ.
- Vì BC là đường kính của đường tròn (O), nên góc BOC = 90 độ.
Từ đó, ta có tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.

- Ta có NA = NM, nên NA^2 = NM^2.
- Ta có NB = NC, nên NB.NC = NC^2.
Vậy NA^2 = NB.NC.

b) Ta có góc BOC = 90 độ và góc BNC = 90 độ, nên tứ giác BOCN là tứ giác nội tiếp.
Do đó, góc BCO = góc BNO.
Vì BN // AM (do MAOB là tứ giác nội tiếp), nên góc BNO = góc AMB.
Vậy góc BCO = góc AMB.

- Ta có góc BCO = góc AMB.
- Ta có góc BOC = góc MBA.
Vậy tứ giác BOCM là tứ giác đồng dạng với tứ giác AMBO.
Do đó, tứ giác BOCM và tứ giác AMBO là tứ giác đồng dạng.

Theo tính chất tứ giác đồng dạng, ta có:
BC/BO = CM/AM
Vì BC = 2BO (do BC là đường kính của đường tròn (O)), nên ta có:
2BO/BO = CM/AM
Vậy BD // AM.

c) Ta có tứ giác BOCM và tứ giác AMBO là tứ giác đồng dạng, nên ta có:
BC/BO = CM/AM
Vì BC = 2BO (do BC là đường kính của đường tròn (O)), nên ta có:
2BO/BO = CM/AM
Vậy MC = 2MO.

- Ta có I là trung điểm CD, nên CI = ID.
- Ta có tứ giác BOCM và tứ giác AMBO là tứ giác đồng dạng, nên ta có:
BC/BO = CM/AM
Vì BC = 2BO (do BC là đường kính của đường tròn (O)), nên ta có:
2BO/BO = CM/AM
Vậy MC = 2MO.
- Ta có K là giao điểm AB và CD, nên AK = KB.
Vậy AI = IB.

Do đó, ta có tứ giác MCID là tứ giác đồng dạng.
Theo tính chất tứ giác đồng dạng, ta có:
MC/MI = CD/ID
Vì MC = 2MO và CI = ID, nên ta có:
2MO/MI = CD/ID
Vậy MC.MD = MI.MK.