a) Ta có:
$\angle AIC = 90^\circ$ (do AI vuông góc với BC)
$\angle ACB = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\angle INC = \angle ACB$ (cùng nội tiếp trong cùng một cung AC)
Vậy tam giác ABC đồng dạng tam giác INC theo góc.

Từ đồng dạng tam giác ta có:
$\frac{CA}{CI} = \frac{CB}{CN}$
$\Rightarrow CA.CN = CB.CI$

b) Ta có:
$BA^2 = BH.BC$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$NB^2 = NC^2 + BC^2$ (theo định lý Pythagore trong tam giác NBC)

Vậy $BA^2 = BH.BC = NB^2 - NC^2$

c) Gọi V là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AN và tia AB.
Ta có:
$\angle AVH = 90^\circ$ (do đường thẳng vuông góc với AN)
$\angle ABV = 90^\circ$ (do AV là tia)
Vậy tam giác ABV vuông tại B.

Vì $\angle AVH = \angle ABV = 90^\circ$, nên B là trung điểm của AV.