Để chứng minh rằng phân số $\frac{3n+2}{2n+1}$ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của $3n+2$ và $2n+1$ là 1.

Giả sử tồn tại một số nguyên dương $d$ là ước chung của $3n+2$ và $2n+1$. Khi đó, ta có:
$$d | (3n+2) \quad \text{và} \quad d | (2n+1)$$

Từ đó, ta có:
$$3n+2 = kd \quad \text{và} \quad 2n+1 = ld$$
với $k, l$ là các số nguyên.

Từ hai phương trình trên, ta có:
$$3(2n+1) - 2(3n+2) = 3ld - 2kd = 3l - 2k = 1$$

Điều này chỉ xảy ra khi $l = 2$ và $k = 3$. Tức là $d = 1$.

Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng phân số $\frac{3n+2}{2n+1}$ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$.