Tìm các đa thức f(x) bậc nhỏ nhất hơn 4 thỏa mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x, biết 3. f(x + 1). f(x) = x^2 + 1

Để tìm các đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thỏa mãn điều kiện đã cho, ta giả sử f(x) có dạng:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Thay f(x) vào điều kiện đã cho ta được:

3(ax^3 + bx^2 + cx + d + a)^2 = x^2 + 1

Mở rộng và rút gọn ta được:

3a^2x^6 + 6abx^5 + (3a^2 + 6ac)x^4 + (2ab + 6ad + b^2)x^3 + (2ac + 2bd + 2bc)x^2 + (2ad + 2cd)x + d^2 = x^2 + 1

So sánh các hệ số của cùng bậc ta được hệ phương trình:

3a^2 = 0
6ab = 0
3a^2 + 6ac = 0
2ab + 6ad + b^2 = 1
2ac + 2bd + 2bc = 0
2ad + 2cd = 0
d^2 = 1

Từ hệ phương trình trên, ta có thể giải ra giá trị của a, b, c, d và từ đó tìm được các đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện đã cho.