Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm  A sao cho OA lớn hơn2R vẽ hai tiếp tuyến AB và AC của đường tròn

Để chứng minh 5 điểm A, B, I, O, C cùng thuộc 1 đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Gọi G là giao điểm của AB và OC. Ta có:
- Góc OBC = góc OAC (do AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn)
- Góc OAC = góc OGC (do AB và OC cắt nhau tại G)
- Góc OGC = góc OBC (do OB và OG là bán kính của đường tròn)

Từ đó suy ra góc OBC = góc OGC = góc OAC, tức là 4 điểm O, B, G, C cùng thuộc 1 đường tròn.

Vậy ta có 5 điểm A, B, I, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.

Để chứng minh AK/AI = AH/AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus và định lí góc nội tiếp.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOH và dây cung BD ta có:
(AK/AI) * (IO/OH) * (HB/BA) = 1

Áp dụng định lí góc nội tiếp trong tam giác AFE ta có:
Góc AFE = góc ABC = góc AOC (do AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn)
Góc AEF = góc AFB (do EF song song với BD)
=> Tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA

Vậy ta đã chứng minh được AK/AI = AH/AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA.