Để tìm số dư của phép chia \(3^{517} : 25\), ta sẽ sử dụng định lý Euler:

Định lý Euler: Nếu \(a\) và \(n\) là hai số nguyên dương cùng nhau (ước chung lớn nhất bằng 1), thì \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\), trong đó \(\phi(n)\) là số số nguyên tố cùng nhau với \(n\) nhỏ hơn \(n\).

Ở đây, ta có \(3\) và \(25\) là hai số nguyên dương cùng nhau, vì \(3\) và \(25\) không có ước chung nào ngoài \(1\).

Ta cần tính \(\phi(25)\):
\(25 = 5^2\), nên \(\phi(25) = 25 \times \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 20\).

Do đó, theo định lý Euler, ta có: \(3^{20} \equiv 1 \pmod{25}\).

Vậy, ta có thể viết lại phép chia \(3^{517} : 25\) thành \(3^{20 \times 25 + 17} : 25\).

\(3^{20 \times 25 + 17} = (3^{20})^{25} \times 3^{17} \equiv 1^{25} \times 3^{17} \equiv 3^{17} \pmod{25}\).

Để tính \(3^{17} \pmod{25}\), ta có thể sử dụng phương pháp lũy thừa nhanh:
\(3^2 \equiv 9 \pmod{25}\)
\(3^4 \equiv 9^2 \equiv 81 \equiv 6 \pmod{25}\)
\(3^8 \equiv 6^2 \equiv 36 \equiv 11 \pmod{25}\)
\(3^{16} \equiv 11^2 \equiv 121 \equiv 21 \pmod{25}\)
\(3^{17} \equiv 3^{16} \times 3 \equiv 21 \times 3 \equiv 63 \equiv 13 \pmod{25}\).

Vậy, số dư của phép chia \(3^{517} : 25\) là \(13\).