a) Ta có:
\[\angle AMD = \angle AMN \quad (\text{cùng chắn})\]
\[\angle MAD = \angle MAN \quad (\text{cùng chắn})\]
\[AD = 5cm = \frac{1}{2}AM\]
\[AM = 10cm\]
Vậy tam giác ADM đồng dạng với tam giác AMN theo trường hợp đồng dạng AA.

b) Gọi I là giao điểm của đường phân giác của tam giác AMN với MN. Ta có:
\[\frac{AI}{IM} = \frac{AN}{NM} = \frac{20}{21}\]
\[IM = \frac{21}{20}AI\]
Vì IM + IN = MN = 21cm nên:
\[IN = 21 - IM = 21 - \frac{21}{20}AI = \frac{399}{20} - \frac{21}{20}AI = \frac{399 - 21AI}{20}\]

c) Ta có:
\[E = \frac{M+N}{2} = \frac{21}{2}\]
\[F = \frac{M+D}{2} = \frac{21+5}{2} = 13\]
\[H = \frac{E+I}{2} = \frac{\frac{21}{2} + AI}{2} = \frac{21 + 2AI}{4}\]
\[HE.AF = \frac{21}{2} \times 13 = \frac{21}{2} \times 13 = 136.5\]
\[HF.AE = 13 \times \frac{21}{2} = 136.5\]
Vậy ta có HE.AF = HF.AE.