Bài 7: Ta có tam giác ABC có góc BAC = 120°. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2AB*AC*cos120°

BC² = AB² + AC² + AB*AC

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

BC² = AB² + AC² + AB*AC ≥ 2√(AB²*AC²) = 2AB*AC

Do đó, 2BC ≥ √3(AB + AC).

Bài 8: Gọi I là giao điểm của tia phân giác của ABC và BD. Ta có:

Do tam giác ABC cân tại A nên AI là đường phân giác của góc BAC.

Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD đồng dạng.

Từ đó, ta có: BD/CD = AB/AC = 1.

Giả thiết BE = 2CD nên BD = 2CD.

Do đó, tam giác BDE là tam giác vuông tại D.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BDE, ta có:

BD² = BE² + DE²

(2CD)² = (2CD)² + DE²

4CD² = 4CD² + DE²

DE² = 0

Vậy, BDE là tam giác bằng nhau, tức là BDE là tam giác vuông tại D.