a) Xét ΔΔABC: Trực tâm H => ^BAC + ^BHC = 1800. Tương tự: ^BPC + ^BMC = 1800

Suy ra: ^BAC + ^BHC = ^BPC + ^BMC. Ta có: ^BHC = ^BMC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

=> ^BAC = ^BPC => Tứ giác ABCP nội tiếp => P nằm trên (ABC) hay P thuộc (O) (đpcm)

b)  Gọi AO cắt BC tại F'. Ta đi chứng minh F trùng F'. Thật vậy:

Gọi 2 đường cao của tam giác ABC là BT và CS. ST cắt AH tại I.

Tứ giác BSTC nội tiếp => ^ATS = ^ABC => ^ATI = ^ABF'. Dễ thấy: ^TAI = ^BAF'

Suy ra: ^AF'B = ^AIT. Mà HE // AF', ^AIT = ^HIS nên ^HEB = ^HIS => ΔΔHBE ~ ΔΔHSI (g.g)

=> BESI=HBHS=BCST=ACAS. Ta cũng có: ΔΔAF'C ~ ΔΔAIS (g.g) => CF′SI=ACAS
Do đó: BESI=CF′SI=> BE = CF' . Mà BE = CF nên CF = CF' => F trùng F' => A,F,O thẳng hàng (đpcm).

c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔΔBHC. Dễ thấy O đối xứng với K qua BC => CO=OP=CK (1)

Ta có: Hai đường tròn (N) và (K) có 2 điểm chung là B và M => KN vuông góc BM, kết hợp OK vuông góc BC

=> ^OKN = ^MBC (2 góc có 2 cạnh tương ứng vuông góc). Tương tự thì ^ONK = ^MBA

Mà ^MBC = ^MBA (Do BM là phân giác ^ABC) nên ^OKN = ^ONK => ΔΔNOK cân tại O

Suy ra O nằm trên trung trực của NK và CP (Vì OP=OC)

Mặt khác: NK vuông góc BM. BM lại vuông góc CP (M là trực tâm ΔΔBCP) => NK // CP

Từ đó: Trung trực của NK và CP trùng nhau => Tứ giác PNKC là hình thang cân => CK = PN (2)

Từ (1),(2) => PN = PO (đpcm).