a) Ta có:
$\angle ABK = \angle CBH$ (cùng nằm ở cùng cạnh AB)
$\angle BAK = \angle BCH$ (cùng nằm ở cùng cạnh AC)
$\angle AKB = \angle CHB$ (cùng nằm ở cùng cạnh BC)
Vậy tam giác ABK đồng dạng tam giác CBF theo góc.

b) Ta có:
$\frac{AE}{AF} = \frac{sin \angle AFE}{sin \angle AEF} = \frac{sin \angle BAC}{sin \angle CBA} = \frac{AB}{AC}$
Do đó, $AE.AC = AF.AB$

c) Ta có:
$\angle AEF = \angle ACF = \angle ABC$
$\angle AFE = \angle ABH = \angle ACB$
Vậy tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC.
Do đó, ta có $\frac{AN}{NK} = \frac{AE}{EK} = \frac{AF}{FK}$.
Từ đó, ta có $AN.AF = AK^2 = AH.AO$ (do O là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH).
Tương tự, ta cũng có $AD.AH = AH.AI$.
Vậy ta có $AN.AF = AD.AH$, từ đó suy ra ON vuông góc DI.