a) Xét tam giác AEQ và tam giác BEC có
EQ=EC
AEQ=BEC đối đỉnh
EA=EB
=> tam giác AEQ = tam giác BEC(c.g.g).
=> AQ=BC(cạnh tuognư ứng). (1)
Xét Tam giác AFP và tam giác CFB có
AF=CF
AFP=CFB đối đỉnh
FB=FP
=> tam giác AFB = tam giác CFB(c.g.c)
=> AP = BC (2)
từ (1) và (2) suy ra AP=AQ
c)
xét tam giác BEQ và tam giác AEC có
EQ=EC
BEQ=AEC đối đỉnh
EB=EA
=> tam giác BEQ = tam giác AEC(c.g.c)
=> BQE=AEC (góc tương ứng) 
mà chúng ở vị trí so le trong nên BQ//AC.
xét tam giác PFC và BFA có:
FA=FC
AFB=CFP
BF=PF
=> tam giác PFC = BFA (c.g.c)
=> FAB = FCB(góc tương ứng)
mà chúng ở vị trí số le trong nên
CP//AB
d) +) Vì AQ//BC,AP//BC
Theo tiên đề Ơ-clit
=> ba điểm Q,A,P thẳng hàng
+) Vì BC = AQ = AP nên BC = 1/2 QP
+) Vì AC = BQ(cmt); AC = BR(cmt)
nên AC = 1/2 QR
+) Vì theo đề cho ba điểm Q,B,R đã thằng hàng nên không cần chứng minh. ba điểm P,C,R cũng vậy.
+) Vì AB = CP(cmt); AB = RC(cmt) nên AB= 1/2 RP
=> chu vi ΔPQR là: 
PQ + QR + PR
= 1/2BC + 1/2AC + 1/2AB
= 1/2(AB + BC + AC)
= 1/2 chu vi ABC (đpcm)