Ta có:
- Vì AB và CD là hai đường kính của đường tròn (O;R) và vuông góc với nhau nên ta có: AC và BD là hai đường trung tuyến của tam giác ABCD.
- Do đó, ta có: AC = BD = 2R.
- Ta có: $\widehat{AOC} = \widehat{BOC} = 90^{\circ}$ nên tam giác AOC và BOC vuông tại O.
- Khi đó, ta có: AO = OC = R và BO = OC = R.
- Ta có: $\widehat{AOC} = \widehat{BOC} = 90^{\circ}$ nên tam giác AOC và BOC cân tại O.
- Khi đó, ta có: AI = IC và BI = IC.
- Ta có: $\widehat{AIC} = \widehat{BIC} = 90^{\circ}$ nên tam giác AIC và BIC vuông tại I.
- Khi đó, ta có: AI = IC = R.
- Ta có: $\widehat{AHC} = \widehat{AEC} = 90^{\circ}$ nên ta có tứ giác AHCE nội tiếp.
- Khi đó, ta có: AH.AE = CH.CE = 2R^2 (do AH = CH = R và AE = CE = R).
Vậy ta đã chứng minh được AH.AE = 2R^2.