Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O; R). Qua A kẻ cát tuyến AMN

Giải:

a) Ta có: $\angle BAM = \angle BAN$ (vì AB, AC là hai tiếp tuyến nên $\angle BAM = \angle BAC = \angle BAN$).

$\Rightarrow \triangle BAM \sim \triangle BAN$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AN}{AB}$

$\Rightarrow AB^2 = AM \cdot AN$

b) Ta có: $\angle AOB = \angle ACB$ (cùng chắn cung AB)

$\angle ACO = \angle ABO$ (cùng chắn cung AC)

$\Rightarrow$ Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

Ta có: $\angle ACH = \angle AMH$ (cùng chắn cung AH)

$\angle AHC = \angle AMH$ (do AH song song với MN)

$\Rightarrow$ Tứ giác ACHO là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có: $\angle MHE = \angle MCE$ (do ME//BC)

$\angle MCE = \angle MBA$ (cùng chắn cung MC)

$\angle MBA = \angle MAB$ (do AB//ME)

$\Rightarrow \angle MHE = \angle MAB$

$\Rightarrow ME//AB$

d) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHE. Ta có: $\angle MIE = 90^{\circ}$ (do ME//BC)

$\angle MKE = 90^{\circ}$ (do MK là đường cao của tam giác MOK)

$\Rightarrow$ I, K, E thẳng hàng.

Vậy ta chứng minh được ba điểm B, O, K thẳng hàng.