Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax

Ta có:
- Góc IAM = góc EAB (do cùng chắn cung EM trên cùng đường tròn)
- Góc EAB = góc EMB (do cùng chắn cung EM trên cùng đường tròn)
- Góc EMB = góc FBE (do tia BE là tia phân giác của góc EMB)
- Góc FBE = góc FBA (do cùng chắn cung FE trên cùng đường tròn)
- Góc FBA = góc IAB (do tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn)
- Góc IAB = góc IAM (do AI là tia phân giác của góc BAC)

Vậy ta có chuỗi các góc sau:
góc IAM = góc EAB = góc EMB = góc FBE = góc FBA = góc IAB = góc IAM

Do đó, tam giác AIM đồng dạng với tam giác EIB theo góc.

Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
\(\frac{AI}{IM} = \frac{AB}{EB}\) (1)

Ta có: tam giác ABE vuông tại E nên theo định lý Pythagore ta có:
\(AB^2 = AE^2 + EB^2\) (2)

Ta có: tam giác AEM vuông tại E nên theo định lý Pythagore ta có:
\(AM^2 = AE^2 + EM^2\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra:
\(AB^2 - AM^2 = EB^2 - EM^2\)
\((AB + AM)(AB - AM) = EB^2 - EM^2\)
\(AB - AM = \frac{EB^2 - EM^2}{AB + AM}\) (4)

Từ (1) và (4) suy ra:
\(AI^2 = IM \cdot IB\)

Vậy ta đã chứng minh được \(AI^2 = IM \cdot IB\).