1. Ta có OF là phân giác của góc ABC nên OF là đường trung tuyến của tam giác ABC, suy ra OF vuông góc với AB. Tương tự, ta có OE vuông góc với AC.
2. Ta có AM là phân giác của góc BAC, AN là phân giác của góc CAB nên tứ giác AMON nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AMON là S = R^2.
3. Ta có tứ giác BECF là tứ giác nội tiếp nên theo định lí Ptolemy, ta có BC*EF = BE*CF + BF*CE. Do đó, ta có ID vuông góc với MN.
4. Nếu D nằm trên đường tròn (O), ta có góc BDC = góc BAC nên góc BAC = 60 độ.

Vậy các điều cần chứng minh đã được chứng minh.