Chứng minh S ≤ 1 / 16 ( 3a^2 + 2 b^2 + 2 c^2 )

Đặt p = (a + b + c) / 2 là nửa chu vi của tam giác ABC.

Áp dụng công thức diện tích tam giác Heron, ta có:
S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

Ta có: p - a = (b + c - a) / 2, p - b = (a + c - b) / 2, p - c = (a + b - c) / 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(p - a)(p - b) ≤ [(b + c - a + a + c - b) / 2]^2 = c^2
(p - a)(p - c) ≤ [(b + c - a + a + b - c) / 2]^2 = b^2
(p - b)(p - c) ≤ [(a + c - b + a + b - c) / 2]^2 = a^2

Nhân 3 bất đẳng thức trên với nhau, ta được:
(p - a)(p - b)(p - c) ≤ a^2b^2c^2

Do đó, S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] ≤ √[p * a^2b^2c^2] = abc / 4

Ta có: 3a^2 + 2b^2 + 2c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca = 4S

Vậy S ≤ 1 / 16 (3a^2 + 2b^2 + 2c^2) được chứng minh.