Giải:

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABEC ta có:

AC.EB + BC.EA = AB.EC

Do tam giác ABC là tam giác nhọn nên ta có:

AC = 2AH, BC = 2CH, AB = 2BH

Thay vào biểu thức trên ta được:

2AH.EB + 2CH.EA = 2BH.EC

Chia cả hai vế cho 2 ta được:

AH.EB + CH.EA = BH.EC

Do tam giác AHC và BHE đồng dạng nên ta có:

\(\frac{AH}{BH} = \frac{CH}{EB} = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{2} = 1\)

Do đó, AH = BH, CH = EB

Thay vào biểu thức trên ta được:

AH.CH + BH.EB = BH.EC

Do tam giác ABC là tam giác nhọn nên ta có:

BC = AH + CH = 2BH

Thay vào biểu thức trên ta được:

AH.CH + BH.EB = BC^2

Vậy ta đã chứng minh được \(CE.CA + BH.BE = BC^2\).