Cho hình thoi ABCD có AB = AC. Kẻ AE vuông góc BC ( E thuộc BC); AF vuông góc CD (F thuộc CD). a) Chứng minh tam giác AEF đều. b) Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi 

a) Ta có:
$\widehat{BAE} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - \widehat{ACB} = \widehat{CAF}$
$\widehat{CAF} = \widehat{BAE}$
$\widehat{EAF} = 180^\circ - \widehat{BAE} - \widehat{CAF} = 180^\circ - 2\widehat{BAE} = 60^\circ$
Vậy tam giác AEF đều.

b) Ta có $AB = AC = 4cm$. Kẻ BD và CF.
Gọi $x$ là độ dài đường chéo BD và CF. Ta có:
$BD = 2AB = 8cm$
$CF = 2AC = 8cm$
Do tam giác AEF đều nên $AF = EF = AE = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}cm$
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ACF vuông tại C, ta có:
$AC^2 + CF^2 = AF^2$
$4^2 + 8^2 = AF^2$
$AF = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}cm$
Vậy độ dài các đường chéo của hình thoi là $8cm$ và $4\sqrt{5}cm$.