Để chứng minh EH = HF, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác và tính chất của tam giác vuông.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng AH với BC. Ta có: AI là tia phân giác của góc A trong tam giác ABC và AM là đoạn phân giác của tam giác ABC nên ta có: $\angle IAM = \angle IAC = \angle BAE$.

Do đó, tam giác AIE đồng dạng với tam giác ABC theo góc. Tương tự, ta cũng có tam giác AIF đồng dạng với tam giác ABC theo góc.

Khi đó, ta có: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AI}{AC}$ và $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AI}{AB}$.

Từ đây suy ra: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$.

Do đó, ta có: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{EF}{BC}$.

Vậy ta có: $EF = \dfrac{AE \cdot BC}{AB} = \dfrac{AF \cdot BC}{AC}$.

Nhưng ta cũng có: $EH = EM = \dfrac{BC}{2}$ và $HF = FM = \dfrac{BC}{2}$.

Vậy ta có: $EH = HF$.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng EH = HF.