Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D

a) Ta có:
\(AD \cdot AC = BD \cdot DC\) (do \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp)
\(AE \cdot AB = BE \cdot EC\) (do \(ABEC\) là tứ giác nội tiếp)

Nhân hai phương trình trên ta được:
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = BD \cdot DC \cdot BE \cdot EC\)

Do \(BD \cdot DC = BC \cdot HD\) và \(BE \cdot EC = BC \cdot HE\), ta có:
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = BC \cdot HD \cdot BC \cdot HE\)
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = BC^2 \cdot HD \cdot HE\)
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = BC^2 \cdot AH \cdot HE\)

Vì \(AH = BC \cdot \sin \angle BAC\) và \(HE = BC \cdot \sin \angle BAC\), nên:
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = BC^2 \cdot BC \cdot \sin^2 \angle BAC\)
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = BC^3 \cdot \sin^2 \angle BAC\)
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = (BC \cdot \sin \angle BAC)^2 \cdot BC\)
\(AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = AC^2 \cdot AB\)

Vậy ta có \(AD \cdot AC = AE \cdot AB\).

b) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ABC\).

c) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng các định lí về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

d) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ABC\).