Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

a) Ta có:
$\angle ABH = \angle CBA$ (cùng nằm trên cạnh AB)
$\angle BAH = \angle ACB$ (vuông góc)
Vậy tam giác ABH đồng dạng tam giác CBA.

Tương tự, ta có:
$\angle DAH = \angle HAC$ (cùng nằm trên cạnh AH)
$\angle AHD = \angle ACH$ (vuông góc)
Vậy tam giác DAH đồng dạng tam giác HAC.

b) Ta có:
$\frac{AD}{AH} = \frac{AH}{AC}$ (do tam giác DAH đồng dạng tam giác HAC)
$\frac{BH}{AH} = \frac{AH}{AC}$ (do tam giác ABH đồng dạng tam giác CBA)
Kết hợp hai đẳng thức trên, ta được:
$AD \cdot AC = BH \cdot HC$

c) Ta có O là trung điểm của AB nên $AO = OB$.
Do đó, tam giác AOH đồng dạng tam giác COB.
Vậy ta có:
$\frac{HI}{HD} = \frac{AO}{OC} = \frac{1}{2}$
$\frac{ID}{HD} = 1 - \frac{HI}{HD} = \frac{1}{2}$
Vậy $HI = ID$.

d) Ta có:
$\angle KHD = \angle KAH$ (cùng nằm trên cạnh KH)
$\angle KDH = \angle KHA$ (cùng nằm trên cạnh KD)
Vậy tam giác KHD đồng dạng tam giác KAH.
Do đó, ta có $\frac{KD}{KH} = \frac{DH}{AH} = \frac{DH}{AC}$.
Tương tự, ta có $\frac{KD}{KH} = \frac{DC}{CH}$.
Kết hợp hai đẳng thức trên, ta được $AD \cdot AC = BH \cdot HC$.
Vậy B, K, D thẳng hàng.