Ta có tam giác ABC vuông cân tại A nên $\angle{CAB} = \angle{CBA} = 45^\circ$.

Vì $AI = AD$, ta có $\angle{ADI} = \angle{AID} = 45^\circ$.

Do đó, tam giác ADI cũng là tam giác vuông cân tại A.

Kẻ $CI \perp AD$ tại M.

Ta có $\angle{ACI} = 90^\circ - \angle{CAI} = 45^\circ$ và $\angle{AMI} = 90^\circ - \angle{ADI} = 45^\circ$.

Vậy ta có $\angle{ACI} = \angle{AMI}$ nên tứ giác ACIM là tứ giác nội tiếp.

Do đó, $\angle{CMI} = \angle{CAI} = 45^\circ$.

Mà $\angle{CMI} = \angle{CMB} + \angle{BMI}$.

Vậy $\angle{CMB} + \angle{BMI} = 45^\circ$.

Nhưng $\angle{CMB} = 45^\circ$ (do tam giác ABC vuông cân tại A) nên $\angle{BMI} = 0^\circ$.

Vậy ta có $BI \parallel CM$.

Mà $CD \perp CM$ nên $CD \perp BI$.

Vậy ta đã chứng minh được CD vuông góc BI.