a) Ta có:
$\angle EAF = \angle HAF$ (do $EF \perp AC$)
$\angle HDF = \angle HAF$ (cùng chứng minh)
$\angle EFA = \angle HDA$ (cùng chứng minh)
$\angle HDA = \angle HDC$ (do $AH$ là tia phân giác của $\angle HAC$)
$\angle HDC = \angle HFC$ (do $HF \perp AC$)
$\angle HFC = \angle EFA$ (cùng chứng minh)

Vậy ta có tam giác $HDF$ đồng dạng với tam giác $EAF$.

b) Ta có:
$\frac{AB}{AF} = \frac{AH}{AE}$ (do tam giác $ABH$ đồng dạng với tam giác $AEH$)
$\frac{AH}{AE} = \frac{CD}{CE}$ (do tam giác $AHD$ đồng dạng với tam giác $CED$)
$\frac{CD}{CE} = \frac{DH}{EF}$ (do tam giác $CDH$ đồng dạng với tam giác $CEF$)

Nhân các tỉ số ta được:
$AB \cdot CD = AF \cdot DH$
$AF = AC - CF = AC - DH$
$AB \cdot CD = (AC - DH) \cdot DH$
$AB \cdot CD = AC \cdot DH - DH^2$
$AB \cdot CD = BC \cdot DH$

c) Ta có:
$\angle ACF = \angle ADF$ (do tam giác $ADF$ đồng dạng với tam giác $ACF$)
$\angle ACF = \angle AFC$ (do $AC = AF$)
Vậy tam giác $FAC$ cân.