Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng định lí Euclid về đường cao trong tam giác vuông và định lí Euclid về tỷ lệ đồng dạng của các tam giác.

a) Ta có:
- Trong tam giác vuông ADE, ta có: AI là đường cao, nên AI^2 = AE * AD.
- Trong tam giác vuông CDI, ta có: CI là đường cao, nên CI^2 = CD * DI.

Do đó, ta có: AI^2/CI^2 = (AE * AD)/(CD * DI) = (AE/CD) * (AD/DI) = (AE/CD) * (AD/CE) (vì AD = CE).

Vậy, theo định lí Euclid về tỷ lệ đồng dạng của các tam giác, ta có ΔAEI∽ΔCDI.

b) Ta có:
- Trong tam giác vuông ADE, ta có: AI là đường cao, nên AI^2 = AE * AD.
- Trong tam giác vuông ACI, ta có: AI là đường cao, nên AI^2 = AC * CI.

Do đó, ta có: AE * AD = AC * CI.

Vậy, theo định lí Euclid về tỷ lệ đồng dạng của các tam giác, ta có ΔEDI∽ΔACI và DEIˆ=CAIˆ.

c) Ta có:
- Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ADE, ta có: AE^2 + AD^2 = AC^2.
- Áp dụng định lí Euclid về đường cao trong tam giác ABC, ta có: AE * AB = AC * CB.

Do đó, AE^2 + AD^2 + 2 * AE * AD = AE^2 + AD^2 + 2 * AE * AD = AC^2 + 2 * AE * AD = AC^2 + 2 * (AE * AD) = AC^2 + 2 * AI^2 = AC^2 + 2 * CI^2 = AC^2 + CD^2.

Vậy, AE.AB + CD.CB = AC^2.