a) Ta có:
$$\angle BAC = 90^\circ$$
$$\angle BHA = 90^\circ$$
$$\angle BAC = \angle BHA$$
$$\angle ABC = \angle HBA$$
Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA.

b) Ta có:
$$\frac{MA}{MB} = \frac{CA}{CB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$
$$\frac{MI}{MB} = \frac{CI}{CB} = \frac{HI}{HB} = \frac{AH}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$
Từ đó suy ra:
$$MA \cdot MB = MI \cdot MB$$
$$MA = MI$$
Vậy ta có:
$$MA \cdot MC = MB \cdot MI$$
c) Ta có:
$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - 8^2} = \sqrt{36 - 64} = \sqrt{-28}$$
Vậy ta có:
$$AM = AC - MC = 8 - \frac{BC}{2} = 8 + \frac{\sqrt{28}}{2}$$
Vậy độ dài AM để ABCI thành hình thang là $8 + \frac{\sqrt{28}}{2}$ cm.