Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C ). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa hình vuông ABCD dựng hình vuông CHIK

Ta có:
- Vì CHIK là hình vuông nên CH vuông góc với HK.
- DH cắt BK tại M nên theo định lí Menelaus ta có: $\frac{DM}{MH}.\frac{HB}{BC}.\frac{CK}{KD}=1$.
- Tương tự, ta có: $\frac{KN}{NH}.\frac{HB}{BC}.\frac{CK}{KD}=1$.
- Từ hai đẳng thức trên, suy ra $\frac{DM}{MH}=\frac{KN}{NH}$.
- Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác CNH và đường thẳng đi qua P ta có: $\frac{DP}{PH}.\frac{HB}{BC}.\frac{CK}{KN}=1$.
- Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác DHQ và đường thẳng đi qua P ta có: $\frac{DP}{PH}.\frac{HB}{BC}.\frac{CK}{KD}=1$.
- Từ hai đẳng thức trên, suy ra $\frac{DP}{PH}=\frac{DM}{MH}$.
- Vậy ta có $\frac{DP}{PH}=\frac{DM}{MH}=\frac{KN}{NH}$, từ đó suy ra P, M, N thẳng hàng.
- Kẻ EH song song với BD, ta có $\frac{EP}{PH}=\frac{EM}{MD}$.
- Tương tự, kẻ EQ song song với BD, ta có $\frac{EQ}{QH}=\frac{EN}{ND}$.
- Từ hai đẳng thức trên và vì P, M, N thẳng hàng, suy ra E là trung điểm của PQ.