Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

a, Ta có:
$$\angle HAC = \angle BAC = 90^\circ$$
$$\angle HCA = \angle CBA$$
Vậy tam giác HAC đồng dạng tam giác ABC.

b, Ta có:
$$AC^2 = AH^2 + CH^2 = BC^2 + CH^2 = 13^2 + 4^2 = 169 + 16 = 185$$
$$AC = \sqrt{185} \approx 13.6 \text{ (cm)}$$

c, Ta có:
$$\frac{AE}{AC} = \frac{AH}{CH} = \frac{AH}{4}$$
$$\frac{FC}{AC} = \frac{HC}{AC} = \frac{CH}{AC} = \frac{4}{\sqrt{185}}$$
$$\frac{AE}{AC} \cdot \frac{CH}{AC} = \frac{AH}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{185}} = \frac{AH}{\sqrt{185}} = \frac{FC}{AC}$$
$$\Rightarrow AE \cdot CH = AH \cdot FC$$

d, Gọi x là độ dài của đoạn AE. Khi đó, độ dài của đoạn HE là $4-x$. Diện tích của tam giác HEF là:
$$S = \frac{1}{2} \cdot HE \cdot FC = \frac{1}{2} \cdot (4-x) \cdot \frac{4}{\sqrt{185}} = \frac{2(4-x)}{\sqrt{185}}$$
Để S đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của (4-x), tức là x cần đạt giá trị lớn nhất. Vì vậy, ta cần chọn E sao cho x = 0, tức là E trùng với A.