Để giải phương trình trên, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt \(x = k!\), phương trình trở thành: \(x(12-x)! - 96780 = 0\).

2. Giải phương trình trên ta được: \(x(12-x)! = 96780\).

3. Ta thấy rằng \(96780 = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 359\).

4. Vì \(x\) là giai thừa của một số nguyên dương nên \(x\) chỉ có thể là 1, 2, 6 hoặc 24.

5. Thử từng giá trị của \(x\) vào phương trình \(x(12-x)! = 96780\) để tìm ra giá trị của \(k\).

- Với \(x = 1\): \(1 \times 11! = 11! \neq 96780\).
- Với \(x = 2\): \(2 \times 10! = 725760 \neq 96780\).
- Với \(x = 6\): \(6 \times 6! = 4320 \neq 96780\).
- Với \(x = 24\): \(24 \times 0! = 24 = 96780\).

Vậy giá trị của \(k\) là 4.