Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kì trên cạnh BC. Kẻ tia Ax vuông góc AE cắt đường thẳng CD tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AFE và kéo dài cắt DC tại K

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí cơ bản về hình học và tính chất của các hình học.

a) Ta có tam giác vuông AEF và tam giác vuông AFC có góc EAF và góc FAC bằng nhau (do cùng bằng góc vuông). Nên theo định lí cạnh-góc-cạnh, ta có AE = AF.

b) Ta có tam giác vuông AEF có trung tuyến AI, nên theo định lí trung tuyến trong tam giác, ta có K là trung điểm của DC. Khi đó, ta có AK song song với EF và AK = 1/2 DC = 1/2 AB (vì ABCD là hình vuông).

Vậy ta có AG = 1/2 AB = AK, nên AGKF là hình thoi.

c) Ta có góc FIK = góc FAK (do AK song song với EF), góc FAK = góc EAF (do AK song song với EF), góc EAF = góc FCE (do AE = AF). Vậy tam giác FIK đồng dạng với tam giác FCE theo định lí góc đồng dạng.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.