Chứng minh tam giác AKM cân. Chứng minh AH vuông góc với BC

a) Ta có AH là đường phân giác của tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có HK = MK. Hơn nữa, ta có ∠AKH = ∠AMH (do AH là đường phân giác), nên tam giác AKH và tam giác AMH đồng dạng. Từ đó suy ra AK = AM, tức tam giác AKM cân.

b) Ta có ∠AKH = ∠AMH và ∠KHA = ∠MHA (do AH là đường phân giác), nên tam giác AKH và tam giác AMH đồng dạng. Từ đó suy ra ∠AKH = ∠AMH = ∠A. Vậy AH vuông góc với BC.

Ta có AK = AM = AH, nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có AH < AB + AC.

c) Ta có E là trung điểm của đoạn thẳng MI, nên IE = EM. Do đó, tam giác MEI cân tại E.

Vì tam giác AKM cân, nên ta có ∠KAM = ∠KMA.

Kẻ IK, ta có ∠KIE = ∠KME = ∠KMA = ∠KAM.

Vậy ta có IK // HM.