Chứng mình 5 điểm A; M; O; I; N cùng thuộc một đường tròn và chứng mình AB.AC = AO.AH và K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi 

a, Ta có:
$\angle AMN = \angle ACB$ (cùng chắn cung BC)
$\angle ANM = \angle ABC$ (cùng chắn cung BC)
$\angle AMN + \angle ANM = \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$ (tổng của hai góc ở đỉnh)
Vậy ta có $AM \parallel BC$, từ đó suy ra $AMON$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $A, M, O, I, N$ cùng thuộc một đường tròn.

b, Ta có:
$\angle AOH = \angle AOP$ (cùng chắn cung AP)
$\angle AHO = \angle APO$ (cùng chắn cung AP)
Vậy hai tam giác $AOH$ và $AOP$ đồng dạng, từ đó suy ra $\frac{AH}{AP} = \frac{AO}{AO} = 1$, tức là $AH = AP$.
Do đó, $AB \cdot AC = AP \cdot AQ = AH \cdot AO$.
Vậy $AB \cdot AC = AH \cdot AO$ khi và chỉ khi $K$ là điểm cố định khi đường tròn tâm $O$ thay đổi.

c, Ta có:
$\angle DHE = 90^\circ$ (do $HE$ vuông góc với $MD$)
$\angle MEP = \angle AOP$ (cùng chắn cung AP)
$\angle MPE = \angle APO$ (cùng chắn cung AP)
Vậy hai tam giác $MEP$ và $AOP$ đồng dạng, từ đó suy ra $\frac{ME}{AP} = \frac{MP}{AO} = 1$, tức là $ME = AP$.
Vậy $P$ là trung điểm của $ME$.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.