Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác BD (D thuộc AC). Kẻ DH vuông góc với BC tại H và DH cắt AB tại K

a, Ta có tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(AD^2 = AB \cdot AC\) (định lí Pythagore).

Gọi \(x = AD\), ta có: \(x^2 = AB \cdot AC\).

Trong tam giác ADH vuông tại H, ta có: \(DH^2 = AD^2 + AH^2\).

Do đó: \(DH^2 = x^2 + AH^2\).

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(AH = \frac{AB \cdot BC}{AC}\).

Thay vào công thức trên, ta được: \(DH^2 = x^2 + \frac{AB^2 \cdot BC^2}{AC^2}\).

Nhưng ta cũng có: \(DH^2 = BD \cdot DC = AB \cdot BC\).

Do đó: \(x^2 + \frac{AB^2 \cdot BC^2}{AC^2} = AB \cdot BC\).

Từ đây suy ra: \(x^2 = AB \cdot AC = AD^2\).

Vậy ta có: \(AD = DH\).

b, Ta đã chứng minh được \(AD = DH\), nên ta có: \(DK = AK - AD = AK - DH\).

Nhưng ta cũng có: \(DH = AD = \frac{AB \cdot BC}{AC}\).

Do đó: \(DK = AK - \frac{AB \cdot BC}{AC}\).

Ta cũng có: \(AK = AB - KB\).

Thay vào công thức trên, ta được: \(DK = AB - KB - \frac{AB \cdot BC}{AC}\).

Suy ra: \(DK = AB \cdot \frac{AC - BC}{AC} - KB\).

Vậy ta có: \(DK < AB\).

c, Ta đã chứng minh được \(AD = DH\), nên ta có: \(AK = DK + AD = DK + DH\).

Nhưng ta cũng có: \(DH = \frac{AB \cdot BC}{AC}\).

Do đó: \(AK = DK + \frac{AB \cdot BC}{AC}\).

Ta cũng đã chứng minh được \(DK < AB\), nên ta có: \(AK < AB + \frac{AB \cdot BC}{AC}\).

Suy ra: \(AK < AB \cdot \frac{AC + BC}{AC}\).

Nhưng ta cũng có: \(AC = AB\).

Do đó: \(AK < 2AB\).

Từ đây suy ra: \(AK = HC\).

Vậy ta đã chứng minh được AK = HC và tam giác KBC là tam giác cân.