Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta có thể sử dụng phương pháp tìm kiếm.

Gọi số tự nhiên cần tìm là x. Theo các điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình sau:
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 2 (mod 4)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 11)

Từ hệ phương trình trên, ta có thể sử dụng định lý dư để tìm x. Ta có:
x = 3a + 1 = 4b + 2 = 5c + 3 = 6d + 4 = 11e

Từ đó, ta có thể tìm ra x bằng cách thử nghiệm các giá trị a, b, c, d, e cho đến khi tìm được số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện.

Dưới đây là cách tìm x bằng cách thử nghiệm:
- Với a = 1, ta có x = 3*1 + 1 = 4*1 + 2 = 5*1 + 3 = 6*1 + 4 = 11*1 = 15
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên là x = 15.