Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), Kẻ đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại O. a) Chứng minh O là trung điểm của BC. b) Kẻ đường thẳng D vuông góc với AO tại A cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh BK/BH = CK/CH. c) Chứng minh : AH^2 = HB.HC 

a) Ta có:
$\angle AHD = 90^\circ$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle AOD = 90^\circ$ (do $AO$ vuông góc với $DE$)
Vậy ta có $AH \parallel OD$ và $AD \parallel OH$, suy ra $AHDO$ là hình chữ nhật.
Do đó, $AO$ là đường chéo của hình chữ nhật $AHDO$, nên $O$ là trung điểm của $BC$.

b) Ta có:
$\angle DAO = 90^\circ$ (do $AD$ vuông góc với $AO$)
$\angle ADB = \angle AHB$ (cùng chắn cung $AB$)
$\angle ACD = \angle AHC$ (cùng chắn cung $AC$)
Vậy ta có $\triangle ADB \sim \triangle AHB$ và $\triangle ACD \sim \triangle AHC$.
Từ đó, ta có:
$\frac{BK}{BH} = \frac{AD}{AH} = \frac{CD}{CH} = \frac{CK}{CH}$
Vậy $BK/BH = CK/CH$.

c) Ta có:
$AH^2 = AD \cdot AE$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$AD \cdot AE = HB \cdot HC$ (do $AHDO$ là hình chữ nhật)
Vậy $AH^2 = HB \cdot HC$.