a, Ta có:
\(\angle ABK = \angle CBF\) (do AB // CF và AK // BE)
\(\angle BAK = \angle CAF\) (cùng là góc nhọn)
Vậy tam giác ABK đồng dạng tam giác CBF theo góc.

b, Ta có:
\(AE \cdot AC = 2[ABE] = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE = AB \cdot BE\)
\(AF \cdot AB = 2[ACF] = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CF = AC \cdot CF\)
Vậy \(AE \cdot AC + AF \cdot AB = AB \cdot BE + AC \cdot CF = AB \cdot CF = 2[ABC] = 2S_{ABC}\)

c, Ta có:
\(ON \perp DI\) tương đương với \(ON \cdot ND = OI \cdot IH\)
Ta có: \(ON \cdot ND = AN \cdot NK\) (do \(ON \parallel AK\))
Ta cần chứng minh \(AN \cdot NK = OI \cdot IH\)
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:
\(\frac{AN}{AB} = \frac{NE}{BC}\) (do \(ON \parallel AK\))
\(\frac{NK}{BC} = \frac{KF}{CF}\) (do \(ON \parallel AK\))
\(AN \cdot NK = AB \cdot CF \cdot \frac{NE}{BC} \cdot \frac{KF}{CF} = AB \cdot NE \cdot KF = AB \cdot 2[AEF] = AB \cdot AH = OI \cdot IH\)
Vậy ta đã chứng minh được \(ON \perp DI\)