Cho hai số a,b không âm thoả mãn

Để giải bài toán này, ta có thể chia thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: a = 0
Thay a = 0 vào điều kiện ban đầu ta được: 2b > 4b^2
Suy ra b < 1/2
Thay a = 0 vào công thức tính S ta được: S = 2024 + (1 + 1)^2024 = 2024 + 2^2024

Trường hợp 2: a > 0
Ta chia 2 bên của điều kiện ban đầu cho 2 ta được: 1/2 + b > a^2 + 2b^2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a^2 + b^2 ≥ 2ab
Do đó: a^2 + 2b^2 ≥ 2ab + b^2 = b^2 + 2b^2 = 3b^2
Nên: 1/2 + b > 3b^2
Suy ra: b < 1/3 hoặc b > 1
Nếu b < 1/3 thì a > 0, b > 0 nên a/b > 3
Nếu b > 1 thì a > 0, b > 0 nên a/b < 1
Vậy không có giá trị nào thoả mãn cả 2 trường hợp trên.

Vậy kết quả cuối cùng là S = 2024 + 2^2024.