Để tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều, ta cần tính diện tích các mặt bên và cạnh đáy.

Với hình chóp tứ giác đều, ta có:
- Cạnh đáy \(a = 10\)
- Cạnh bên \(c = 12\)

Để tính diện tích xung quanh, ta sử dụng công thức:
\[S = \frac{1}{2} \times \text{chu vi đáy} \times \text{đường cao} + \text{diện tích đáy}\]

Trước hết, ta cần tính đường cao của hình chóp. Đường cao của hình chóp tứ giác đều được tính bằng cạnh đáy nhân với căn bậc hai của 2/3:
\[h = a \times \sqrt{\frac{2}{3}} = 10 \times \sqrt{\frac{2}{3}}\]

Tiếp theo, ta tính chu vi đáy:
\[P = 4a = 4 \times 10 = 40\]

Sau đó, tính diện tích xung quanh:
\[S = \frac{1}{2} \times 40 \times 10 \times \sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 200\sqrt{\frac{2}{3}} + 60\]

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là \(200\sqrt{\frac{2}{3}} + 60\).