Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 6cm. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Đường thẳng AM cắt BD, CD thứ tự tại P và N. Chứng minh ΔAPB ~ ΔNPD và Δ PAD ~ ΔPMD. Tính diện tích tam giác CMN 

a) Ta có MB = 2MC và AM cắt BD tại P nên theo định lí phân đôi cạnh trong tam giác, ta có:
$\frac{BP}{PD} = \frac{BM}{MC} = 2$

Do đó, ta có $\Delta APB \sim \Delta NPD$ (theo định lí cạnh và góc đồng dạng).

Tiếp theo, ta có $\angle PAM = \angle PDM$ (cùng là góc trong cùng phần giữa hai đường thẳng song song AM và BC) và $\angle PMA = \angle PDM$ (cùng là góc ngoài cùng của tam giác PMD), nên $\Delta PAD \sim \Delta PMD$ (theo định lí góc đồng dạng).

b) Ta có $S_{\Delta CMN} = S_{\Delta CMD} + S_{\Delta CND} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot MD + \frac{1}{2} \cdot CN \cdot ND = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot 2MC + \frac{1}{2} \cdot CN \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot 2MC^2 + \frac{1}{2} \cdot MC \cdot 3MC = \frac{5}{2}MC^2$

Với $MB = 2MC$ và $AB = 6cm$, ta có $MC = \frac{AB}{2+1} = \frac{6}{3} = 2cm$

Vậy $S_{\Delta CMN} = \frac{5}{2} \cdot 2^2 = 10cm^2$